תגיות

, , , , ,

במסגרת הלימודים שלי לתואר שני בתוכנית למדע, טכנולוגיה וחברה בבר אילן, אחת המטלות שלנו בקורס "ההיסטוריה של המדע" הייתה לכתוב מאמר קצר על מעמדה ההסברי של המתמטיקה כאמת בוחן להתקדמות המדעית, עם התייחסות לאפלטון ואריסטו. המאמר לפניכם (בתיקונים קלים).

מתמטיקה –
אבל מה זאת בעצם מתמטיקה.
לא אחת ניתנה לכך תשובה רעועה.
ואני אינני יודעת ואינני יודעת ונאחזת בזה
כבמעקה גואל.

(פרפרזה על שירה של ויסלבה שימבורסקה "אחדים אוהבים שירה")

לקראת אמצע המאה הרביעית לפנה"ס, אפלטון, אבי הפילוסופיה המערבית, כותב את חיבורו "הטימאוס". הוא מציג בו תובנה רדיקלית שעתידה לשנות את הצורה בה אנו חושבים על העולם ומבינים אותו.

אפלטון מאמין שאנו חיים בעולם של חזיונות. בעולם שבו הכל משתנה וזמני, הוא טוען, לא ניתן לדעת שום דבר באמת. מאחר ובכל זאת אנחנו מצליחים לרכוש ידע על העולם, כנראה שיש משהו קבוע ובלתי משתנה שאותו אנו כן מצליחים לתפוס –  ולכן הוא מאמין שקיים עולם אמיתי, קבוע ובלתי משתנה , שבו קיימות המהויות (הצורות) האידיאליות של כל הישים שקיימים בעולמנו, והן נצחיות וקבועות. לעולם זה קורא אפלטון עולם האידאות.

תכליתה של הפילוסופיה לפי אפלטון היא ידיעת הטוב:  "אחרונה ובדי עמל תתגלה בתחום המושכל דמות הטוב… היא היא לעולם כולה עילת כל מה שהוא נכון ונאה"[1]. אך הטוב הוא אידאה בפני עצמו, וכדי להבינו באמת, נדרש להיות מסוגל לתפוס את האידאות. אולם כיצד ניתן לפתח את היכולת לתפוס את מהותן של האידאות? אפלטון טוען שהצעד הראשון הוא על ידי למידת אריתמטיקה, משום תכונתה "להכריח את הנשמה להשתמש במחשבה כשהיא לעצמה, לצורך האמת כשהיא לעצמה"[2] . הבנה מתמטית של היקום מאפשרת ללומד לתפוס את המספרים בצורתם האבסטרקטית, וכך יוכל לתפוס גם את האמיתויות האבסטרקטיות על העולם, ויתקרב לידיעת האידאות – שניתנות לתפיסה על ידי התבונה הטהורה בלבד.

מהו, אם כן, העולם המתואר בטימאוס? כפי שאמרנו, העולם המתואר בטימאוס מחולק לשני חלקים: עולם האידאות והעולם המוחשי (הקוסמוס). בעולם האידאות נמצאות כל המהויות בצורתן האידאלית – קבועות, נצחיות ובלתי ניתנות לשינוי. הן ניתנות להבנה, אך בלתי ניתנות לתפיסה בחושים. כל אלמנט (אובייקט, יחס, תפיסה) בעולם המוחשי הוא התגלמות פגומה של צורה אידאלית כלשהי מעולם האידאות, וככזו, כל התגלמות כזו היא זמנית וניתנת לשינוי.

הקוסמוס נוצר על ידי יישות (דמיאורג) שלא המציא את הצורות (שהרי האידאות שלהן נצחיות, ואילו הקוסמוס נוצר – כלומר, יש לו התחלה), אלא, בדומה יותר לאמן, שיבץ את הצורות הקיימות בקוסמוס [3]. מטבעו, הקוסמוס הוא נראה ומוחשי – ולכן כל אובייקט פיסי שקיים בו צריך להכיל את יסוד האדמה (כדי שיהיה מוחשי) ואת יסוד האש (כדי שיהיה נראה) . מאחר ואדמה ואש הם שניהם מוצקים, נדרשים שני חומרים מתווכים כדי לחבר ביניהם – ואלו הם האוויר והמים. כלומר, כל החומר בקוסמוס מקורו בארבעת היסודות: אש, מים, אוויר ואדמה – "ארבעה מיני הגופים שהם המושלמים ביותר"[4] .

כל יסוד מורכב מחלקיקי יסוד שהם ישים פיסיקליים גאומטריים ומוחשיים, וכל חלקיק יסוד כזה מורכב מאוסף של משולשים ישרי זווית משני סוגים – שווי שוקיים או בעלי זווית של 30 מעלות. חלקיקי היסוד של יסוד האש הם טטרהדרונים, של האוויר – אוקטיהדרונים, של האדמה – קוביה ושל המים איקוסהדרונים (מצולע משוכלל בעל עשרים פאות). מאחר וחלקיקי היסוד של הצורות מורכבים ממשולשים ישרי זווית, ניתן לעבור מחלקיק יסוד של חומר אחד לחלקיק יסוד של חומר אחר על ידי פירוק והרכבה מחדש של החלקיקים המרכיבים אותו (לדוגמה – ניתן לייצר חלקיק של אוויר על ידי חיבור של 2 חלקיקי אש) והמעבר הוא פונקציה של מספר הפאות של חלקיקי היסוד.

מה שקיבלנו למעשה הוא מודל שמציג גופים אבסטרקטיים (האידאות), שעל ידי אינטראקציה ביניהם משפיעים על העולם הממשי. בנוסף, יש לנו מודל מתמטי של חלקיקים שבעזרתו מוסבר כיצד כל החומר בקוסמוס בנוי, וכיצד חומר הופך מסוג אחד לסוג שני, לפי חוקיות שמוגדרת על פי מספר הפאות של חלקיקי היסוד. אפלטון בונה למעשה תשתית רעיונית שלמה שמסבירה את את העולם הפיסיקילי לפי רעיונות של אובייקטים מספריים, יחסיים וגאומטריים בלתי נראים, ברי תפיסה על ידי התבונה בלבד – שקובעים את סידורו של העולם ואת מהותם של כל החפצים והתהליכים הנצפים בו.

אריסטו, תלמידו הסורר של אפלטון, חולק על תפיסתו של אפלטון את העולם. באופן כללי, אריסטו טוען שההפרדה של אפלטון את המציאות לשני מישורים לא מסייעת להשיג את המטרה שלשמה נוצרה – הבנה כיצד אנחנו מסוגלים לרכוש ידע על העולם. ניתן לחלק את הביקורת שלו לשני חלקים : מהותי וטכני.

בחלקה הטכני יותר של הביקורת, אריסטו מציג את טענת "האדם השלישי" (שנמצאת גם בביקורת של אפלטון על תורת האידאות[5]). אפלטון מסביר את הרעיון של דמיון בין שני אובייקטים על ידי שימוש בצורות שאותם אובייקטים ממשים: בהנתן שני אובייקטים A וB , אם קיימת צורה ששניהם מממשים, הרי שכל אחד מהם דומה בפני עצמו לצורה (היחידה), ולכן הם דומים זה לזה במובן שבו הם דומים לצורה. אולם אם כדי להשוות בין שני אובייקטים נדרשנו לאובייקט שלישי (הצורה), גם כדי להשוות בין אובייקט A לצורה נדרש אובייקט שלישי – וחוזר חלילה עד אינסוף.. כלומר, יש כשל לוגי בניסיון לייחס ידע על העולם לידע של האידאות.

בחלקה המהותי של הביקורת, אריסטו תוקף את טיב היחס שבין האידאות למימושיהן הארציים. הוא טוען שהאידאות, שמופרדות מהמימושים הארציים שלהן, לא יכולות להיות הגורם לאף סוג של שינוי באובייקטים הממשיים כל עוד הן אינן חלק מהן. האידאות לא יכולות להתייחס בשום צורה לאובייקטים שמממשים אותן אם הן אינן פועלות מתוך האובייקטים עצמם, ולכן, מאחר והן מופרדות מהמימושים שלהן,  לא יכולות לגרום לאובייקטים להשתנות – ובכלל השינוי, להיווצר או להיהרס. אם כך, האידאות לא יכולות ללמד אותנו מדוע דברים נוצרים, משתנים או נהרסים – ולכן אין צורך בהן, כי הן לא מלמדות אותנו דבר על העולם[6]. בעולמו של אריסטו, הצורות אינן חיצוניות לישים הקיימים בקוסמוס – אלא מוכלות בהם, והן חלק מטבען, שאותו יש לחקור על ידי החושים.

 אפלטון, אם כך, בונה מערכת מתמטית אבסטרקטית ומורכבת שמתארת את העולם הפיסיקלי על האובייקטים והסדרים שבו ושמבוססת על אלמנטים נצחיים (האידאות) שקיימים במישור שהתבונה הטהורה בלבד יכולה להגיע אליו – היכולת שלנו להבין את העולם נובעת מקיומם של האובייקטים הללו. עבור אריסטו, לעומת זאת, עקרונותיו של הטבע אינם מופרדים ממנו, אלא חלק ממנו[7], וככאלה, ניתנים לגילוי מתוך הטבע עצמו על ידי שימוש בתצפית אמפירית ובחשיבה אבסטרקטית. אם אפלטון מאמין שהתיאור שלו הוא "טוב מספיק" כי איננו יכולים לדעת את האידאות במלואן, עבור אריסטו התיאור של העולם איננו "תיאור טוב מספיק" – הוא המציאות עצמה [8]. שניהם מאמינים שהדרך היחידה שבה תתכן בכלל ידיעה היא אם קיימים אובייקטים נצחיים ובלתי משתנים שאותם אנו יכולים להבין – אצל אפלטון,אלו האידאות – ואנחנו יכולים להבין אותן רק על ידי התבונה, בעוד אצל אריסטו זו המהות של האובייקט, והיא ניתנת להבנה על ידי שימוש בחושים.

גם אפלטון וגם אריסטו, על אף ההבדלים בתפיסות שלהם (שהן ניצניהן של הרציונליזם והאמפריציזם), נדרשים להתמודד עם אותה בעיה: מה טיב הקשר שבין הרעיונות האבסטרקטיים שהצלחנו להבין על העולם לבין האובייקטים הממשיים עצמם? כיצד מגיעים מתצפיות במציאות למסקנות אבסטרקטיות על האמיתויות הקבועות, ומדוע לביצוע מניפולציות על אובייקטים אבסטרקטיים כמו מספרים יש משמעויות בעולם האמיתי?

שאלה זו, על הקשר בין האובייקטים המתמטיים לעולם הממשי שאותו הם מתארים, לא נעצרה באפלטון ואריסטו. אחד הראשונים שהתייחס לבעיה הזו לאחר העת העתיקה [9] הוא רוברט גרושטסט (Grosseteste), שנחשב לאבי המתודולוגיה המדעית בתרבות המערבית (אחרי התקופה ההלניסטית) . גרושטסט טען שידע חייב להתחיל מהחושים. כאשר אנו חווים תופעה בחושים שלנו, אנו מפתחים השערה על העולם. כדי להמיר השערה על העולם לאמת מדעית על העולם, עלינו לצאת ולבצע ניסוי שידגים את ההשערה שלנו. בעצם, גרושטסט מציע דרך לעבור מאמת מדעית קבועה לתצפית ניסויית, ולהיפך. זו ראשיתה של המתודולוגיה המדעית. מיד אחריו, רוג'ר בייקון מגדיר מתודולוגיה מדעית של ניסויים ותוקף בחריפות את הניסיון להפריד בין מחשבה להתנסות חושית – הוא מהלל את כוחה התיאורי של המתמטיקה, קורא לה "השער והמפתח" של המדעים [9] , ומנסה להשתמש בה כדי לגשר על הפער בין המחשבה לניסיון.

גלילאו, שאיינשטיין אמר עליו שהיה "אבי המדע המודרני"[10], מטפל בדיוק בשאלה הזו בחיבורו "דיאלוג אודות שני מדעים חדשים": הוא מציב בפי סימפליקו (ההדיוט) את האמירה "הטיעונים וההדגמות שסיפקת הן מתמטיות, מופשטות ורחוקות מהמוחשי; אינני מאמין שבכל הקשור למוחשי ולטבעי החוקים הללו תקפים" רק על מנת לפרוש את משנתו הסדורה ולהוכיח את הקשר ביניהם[11] – ודורש שכל טענה תוכח מתמטית[12], ואילו ניוטון ב "פרינקיפה" וב"אופטיקה" מדגים כיצד שימוש מתודי בתאוריה המתמטית ובניסויים מתוכננים היטב יכול להוכיח אוסף רחב של תוצאות תאורטיות[13].

ניתן להבין מתוך התיאורים לעיל ששאלת מעמדה התיאורי של המתמטיקה הייתה משמעותית ומרכזית לראיית העולם של רבים מאבותיה של המתודולוגיה המדעית, וניתן לומר במידה רבה של ביטחון כי הצורך להתמודד עם השאלה הזו היה אחד הגורמים שקידמו את המהפכה המדעית. ברגע שנולדה התובנה של האפשרות לתאר את העולם הפיסי באמצעים אבסטרקטיים, נאחזה בעקבה השאלה מהי משמעותה של התובנה הזו, וכיצד, אם בכלל, ניתן להשליך את גזירותיה על המציאות. השאלה מעולם לא נפתרה, והיא עדיין ממשיכה להסעיר את הקהילה המדעית[14]- אך התשובות שניתנו עליה במהלך השנים שינו את הצורה שבה אנו רואים את העולם.

 

ביבליוגרפיה

  1. אפלטון, הפוליטיאה, ספר ז' 517 – כתבי אפלטון, כרך 1, הוצאת שוקן, תל אביב, 1999

  2. אפלטון, הפוליטיאה, ספר ז' 525-526 – כתבי אפלטון, כרך 1, הוצאת שוקן, תל אביב, 1999

  3. אפלטון, טימאוס, 29-30 – כתבי אפלטון, כרך 3, הוצאת שוקן, תל אביב, 1999

  4. אפלטון, טימאוס, 53 – כתבי אפלטון, כרך 3, הוצאת שוקן, תל אביב, 1999

  5. אפלטון, פרמנידס, 132-132 – כתבי אפלטון, כרך 3, הוצאת שוקן, תל אביב, 1999

  6. אריסטו, המטפיסיקה, 991a – אריסטו – המטפיסיקה \ ספר א' , הוצאת מאגנס, תשנ"ב, עמ' 82

  7. Annas, Julia, “Aristotle on Inefficient Causes,” The Philosophical Quarterly, Vol. 32, No. 129.(Oct., 1982), p. 312

  8. Anthony M. Alioto, A history of western science, 2nd edition, Prentice Hall, 1993, c. 4

  9. Anthony M. Alioto, A history of western science, 2nd edition, Prentice Hall, 1993, c. 10

  10. Stephen Hawking, On the sholders of giants ,Running press Book, 202. p 398

  11. Stephen Hawking, On the sholders of giants ,Running press Book, 202. p 438

  12. Gower, Berry, Scientific method: an historical and philosophical introduction / London: Routledge, 1997

  13. Smith, George, "Isaac Newton", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2008 Edition), Edward N. Zalta (ed.),

  14. Reuben Hersh, What is mathematics, really?, Oxford University Press, 1999

 

מודעות פרסומת