תגיות

, , , , ,

השאלה:

אפלטון מציג ב"טימאיוס אפשרות רדיקלית לתיאור מתמטי של העולם הפיסיקאלי. מהם עיקריו של תאור זה, מהי הביקורת האריסטוטלית כנגדו ובאיזה מידה ניתן לראות במחלוקת סביב מעמדה ההסברי של המתמטיקה אבן בוחן להתפתחותה של החשיבה המדעית מהעת העתיקה למאה ה-17.

התשובה:

הדיאלוג "טימאוס" נמצא בקבוצה השלישית (המאוחרת) של כתביו של אפלטון. בדיאלוג זה מציג אפלטון את תורת החומר הגיאומטרי שלו, תהליך יצירת היקום, הרכיבים המרכיבים אותו והשפעתם על בני האדם. אפלטון שוזר כיד אמן רעיונות שמקורם בתקופות קדומות יותר ובעיקר של פיתאגורס ומחברן לבניית העולם הפיסי והרוחני יחדיו. אפלטון מספר על המדע באמצעות העולם.

העולם של אפלטון הוא יחיד ונראה וניתן לנגיעה. מכיוון שדבר לא יכול להיות נראה ללא אש ואינו יכול להיות מוצק וניתן לנגיעה ללא אדמה, מניח אפלטון שהיסודות הבסיסים מהם מורכב העולם הם אש ועפר. כיצד נוצרים הקשרים בין האש לעפר ? "…ואין לך כבל נאה יותר מהמאחד איחוד מושלם ביותר את עצמו ואת כבוליו; ולפי טבע ברייתה עשויה המתכונת הגיאומטרית להצליח מעין כמותה בכבילה מעין זו"[1]. משיקולים גיאומטריים מניח אפלטון שנדרשים עוד שני קושרים לייצר כבילה לכן הוסיף האל את המים והאוויר באופן מותאם גיאומטרית לאש והעפר.

לאחר יצירת היסודות התפנה האל לייצר את הנשמה של העולם: "..באמצעו נתן נשמה וגרם לה שתתפשט בכולו, וגם מבחוץ עטף בנשמה"[2]. דרך בניית הנשמה גם היא מתמטית: בין המציאות שאינה ניתנת לחלוקה ועומדת תמיד בעינם (האידיאות האפלטוניות) ובין המציאות שמתהווה בגופים וניתנת לחלוקה (עולם החושים) נוצר עולם אמצעי. ערבוב עם עולם נוסף שנוצר באמצעו של הזהות והשוני מייצר חוט נשמה ארוך. אפלטון מחלק את חוט הנשמה בהתאם למספרים מתמטיים ומייצר בעזרתו שני מעגלים – את קו המשווה ואת גלגל המזלות. בתוך הנשמה טבע את הגופים הפיסיים. הכוח של הנשמה נובע מההרמוניה המתמטית, המוזיקאלית שממנה היא מורכבת.

לבסוף מסמל אפלטון את ארבעת היסודות הגשמיים על-ידי ארבעת הגופים המשוכללים: הטטראהדרון (אש), האוקטאהדרון (אוויר), האיקוסאהדרון (מים), והקוביה (עפר).
מכיוון שפני הטטראהדרון מורכבים מארבעה משולשים שווי צלעות ואילו פני האוקטאהדרון משמונה, ופני האיקוסאהדרון מעשרים משולשים כאלו, הרי אפשר ליצור קשר מתמטי פשוט בין הגופים האלו: משולשיו של  איקוסאהדרון אחד שווים במניינם לסכום משולשיהם של שני אוקטאהדרונים ושל טטראהדרון אחד. בזה ניתן ביטוי מתמטי לעובדה שיסוד המים הופך לאוויר כתוצאה מהתחממותו באש. תהליך זה מתואר על-ידי אפלטון באופן סמלי כהתפרקותה של יחידת מים בשעה שיחידת אש פוגעת בה. תורה זו היא התחלה של פיסיקה מתמטית המשתמשת בסמלים מתמטיים לביאור המציאות הגשמית[3].

אפלטון מציע לנו תהליך חקירה תבונית לתוך המדע שבבסיסה עומדת הספקנות: אנו יודעים שאנו לא יודעים.

אריסטו הוא הפילוסוף של העולם: אנחנו יודעים על מה אנחנו מדברים. כולם חווים את העולם דרך החושים וזה בסיס הידע. ידע אמיתי על העולם הוא הידע שממיין את העולם באופן מושלם. בעולם של אריסטו אין תזוזה, הכול מסודר ובמקומו.

מושג התנועה האריסטוטלית כולל שינויים איכותיים או כמותיים. השינויים האיכותיים הם בעיקר מעברים מיסוד אחד למשנהו. ארבעת היסודות הם צרופים של ארבע איכויות מוחשיות, המורכבות משני זוגות המנוגדים: חום וקר, לח ויבש הרי שכל מעבר מיסוד  ליסוד נוצר מהחלפת אחד המרכיבים ברכיב אחר. כל שינוי שהוא, כל בריאה או כליה, אינו בסופו של דבר אלא מיזוגן או פירודן של איכויות או צירופי איכויות. כל מה שממשי ומציאותי בעולם אינו יכול לבוא על הסברו באמצעים מתמטיים. הפילוסופיה מסבירה את ה'למה' של הדברים ואין היא מתרגמת את העולם לשפה מתמטית. המחשבה אינה נפרדת מהעולם, היא בתוכו. היא נמצאת בעולם גם כסיבה פועלת הגורמת לתוצאות וגם כסיבה תכליתית.  הסיבות קובעות יחס בין הדברים בעולם ותוצאות קשירת היחס הזה הוא שהעולם מתלכד לאחדות אחת[4]. עפ"י אריסטו האובייקטים בעולם אמיתי אינם בעלי תכונות מתמטיות מושלמות. כדור פיסיקאלי אינו כדור אמיתי, קצה חד של קו אינו בהכרח ישר לכן לא ניתן להשתמש במתמטיקה לתיאור עולם הטבע,  "שום דבר מופשט אינו יכול להיחקר  על-ידי מדעי הטבע, מאחר שכל מה שהטבע עושה-לשם תכלית מסוימת הוא עושה"[5].

עולמו של אריסטו הוא עולם של צורה, חומר, פועל ותכלית. הצורה של משהו היא הגדרתו, הפועל הוא כיצד אותו משהו נעשה והתכלית היא למה הוא נועד. לכלל גורם יש פוטנציאל פנימי שניתן לממש אותו במספר צורות: האבן יכולה להפוך לפסל או לכד אבל אינה יכולה להפוך לעץ. עפ"י אריסטו אבנים, תפוחים ועצמים כבדים נופלים למטה מפני שהם שואפים למקומם הטבעי, שהוא מרכז הארץ. ככל שהם מתקרבים לקרקע מגבירים הגופים את מהירותם, מפני שהם שמחים לחזור הביתה. האוויר (וגם האש), אם זאת נעים כפי מעלה, משום שמקומו הטבעי של האוויר הוא הרקיע. כל עצם ניתן לקשר לטבע, בהסתמך על הזיקה המיוחדת לו מארבעת היסודות הבסיסיים ביותר.

הלוגיקה (בייחוד חוק הסתירה) של אריסטו מובילה את חוקי הפיסיקה שלו, לדוגמא: גופים כבדים יותר נופלים מהר יותר, במהירות העומדת ביחס למשקלים. אמנם מציאות היום יום עשויה לשוות לחוק סבירות מנחה את הדעת – לבנה פוגעת ברצפה יותר מהר מנוצה שנופלת מאותו גובה. רק בימיו של גלילאו גליליי (1564-1642) הוכח שחוק זה אינו נכון ושאריסטו שגה קשות.

אם אסכם בכמה מילים את ההבדל התיאורי של המתמטיקה בעיני אפלטון ואריסטו ניתן לומר שאפלטון ראה את המתמטיקה כבונה את עולם הטבע בעוד שאריסטו ראה במתמטיקה עקרונות תיאורטיים שאינם משמשים את היום יום ולא ניתן לחקור באמצעותם את הטבע שמתבטא בחושים, בצורה ובחומר.

המודל התיאורי של המתמטיקה כאבן בוחן להתפתחות ההיסטוריה של המדע

במשך כ-1200 שנה, החל מקריסת האימפריה הרומית ועד לתחילת המאה השלוש עשרה עלתה והתפתחה הנצרות שאמצה לחיקה את כתביו של אריסטו. אריסטו כונה 'הפילוסוף', כתביו ורעיונותיו נלמדו על-ידי הכנסייה. ההגות המדעית החדשנית נשלטה בתקופה זאת על-ידי המדע הערבי. אל אף הסתירה בין רעיונותיו של אריסטו לאסלם ליהדות ולנצרות שמרנות אריסטוטלית אפיינה את המחקר המדעי של התקופה.

מדי פעם גורמים דתיים יצאו בדברי כפירה ברעיונותיו של אריסטו אולם אלו היו גורמים שוליים ורעיונותיו המשיכו להילמד. אחד הקשיים המשמעותיים היו בסתירה שבין חוקי הפסיקה של אריסטו לבין המערכת של פטולמאיוס (תלמי). דיונים על סתירות אלו נמשכו עד ימיו של גלילאו גליליי במאה ה-17.

רעיונותיו אל אפלטון לא נדונו כלל באירופה הלטינית. במדינות המוסלמיות צצו מעת לעת רעיונות שמזכירים את רעיונותיו של אפלטון. במאה התשיעית והעשירית פותח באסלם סוג מיוחד של אטומיזם על-ידי קבוצת תיאולוגיים בשם ,מות כלימון,. באטומיזם זה, לא רק הגופים בנויים מאטומים אלא גם הזמן, המרחב והתנועה בנויים מאטומים – העולם כולו בלתי רציף. בעולם זה תנועה אחת איטית מהשנייה עקב קוונטות של מנוחה שנמצאות במספר רב יותר בין המנות של התנועה[6]. אלטרנטיבה אחרת הוצגה על-ידי אבו בכר אלראזי  (865 – 925)שבנה שיטה עצמאית שמשלבת את האטומיזם של דמוקריטוס עם תורותיו של אפלטון.

במאות העשירית עד השש עשרה לספירה חקרו חוקרים מוסלמים את משמעות האסטרונומיה בסביבתם הדתית. לאסטרונומיה תפקיד חשוב בקביעת מועדי תפילות, צומות וכד' אולם גם ואולי בעיקר בהאדרת שם האל. מחקר שממשיך את עמדות אריסטו ותלמי נתקל במחסומים תיאולוגיים מחד ומאלצים פתרונות שאינם מבוססים על עובדות מאידך (לדוגמא יכולת סיבוב עצמי של כדור הארץ שעפ"י אריסטו חייבת להיות תנועה ליניארית בעוד המחקרים מראים על תנועה מעגלית). המלומדים המוסלמים יצרו סינתזה מקובלת מבחינה דתית של המסורת הפילוסופית היוונית שתאפשר את המשך הלמידה ואף את התפתחותה. היכולת לבצע מחקר, בעיקרו מתמטי, שמתמקד בתופעות עצמן בניתוק משורשי הפילוסופיה האריטוטלית (שמוגדר כ"פיסיקה")  הביאו אסטרונומים אסלאמיים, כמעט במקביל לקופרניקוס (סביב שנת 1525), לתובנות דומות לשלו על תנועת כדור הארץ סביב עצמו וסביב השמש[7].

במערב הנוצרי פרסם הפילוסוף רוג'ר בייקון ( ‏1214 – 1294) מסה שמתארת את המתמטיקה כיסוד למדעי הטבע "אם חפצנו להגיע במדעים אחרים לוודאות ללא ספקות ולאמת ללא טעות, עלינו לבנות את בסיס ידיעותינו על המתמטיקה, עד כמה שהיא מאפשרת לנו להשיג וודאות במדעים אחרים ואמת על-ידי סילוק הטעות"[8]. זאת גישה חריגה לתקופתה שמעלה מחדש את הגישה האפלטונית למתמטיקה. אבל למרות עמדותיו החריגות של בייקון המשיכו כתבי אריסטו ורעיונותיו להילמד עד המאה ה-17.

במאות השש עשרה והשבעה עשרה התערערה הסמכות האריסטוטלית. בשנת 1573 פרסם קופרניקוס את ספרו "על הסיבובים" שמדיר את הארץ ממרכז מערכת כוכבי הלכת למציב במקומה את השמש. גלילאו גליליי מינף את תורתו של קופרניקוס וביחד עם שימוש בטלסקופ הניח את היסודות למדע המודרני ושחרר את המדע מהתיאולוגיה ומהגישה האריסטוטלית ששלטה בו.

בימי הרנסנס (המאות השש עשרה, שבע עשרה) חזר אפלטון למרכז החשיבה המדעית. רעיונותיו בהקשר לשאלה על מיקום המתמטיקה נחקרים עד היום והשאלה האם המתמטיקה טבועה בטבע ורק נדרש לגלותה או שהיא תגלית בדומה להמצאות אחרות שני בני האדם ממשיכה להעסיק את החוקרים ביתר שאת.

האם ניתן להשתמש במחלוקת התיאורית של המתמטיקה כאבן בוחן להתפתחות המדעית?
למיטב הבנתי, אבן בוחן זאת נקודה שניתן לחתוך אותה בזמן ולהגיד עד כמה תיאוריה אחת דומיננטית ומשפיעה על אותה נקודה. כמעט בכל נקודה בה היינו "חותכים" את 1200 השנים מנפול יוון העתיקה ועד קופרניקוס היינו מגלים שהתיאוריה האריסטוטלית שולטת ביד רמה. כלומר, בשנים אלו לא היוותה המחלוקת אבן בוחן. בראייה של ימינו, כאשר אנו מסתכלים על ההיסטוריה של המדע כולה אכן המחלוקת הזאת משמעותית חיה וקיימת ובהחלט יכולה להיות אבן בוחן להיסטוריה של המדע.


[1] אפלטון, "טימאוס", כתבי אפלטון כרך שלישי, תרגם מיוונים י. ג. ליבס (1975) עמ' 533

[2] אפלטון, "טימאוס", כתבי אפלטון כרך שלישי, תרגם מיוונים י. ג. ליבס (1975) עמ' 535

[3] ש. סמבורסקי, "המחשבה הפיסיקאלית בהתהוותה, אנתולוגיה", עמ' 56.

[4] י. פליישמן,  תולדות הפילוסופיה היונית-אריסטו (1962) עמ' 22-23.

[5] P.162 (1982)Aristotle's Philosophy of Mathematics" ,The Philosophical review Vol 91, No 2," , J. Lear  P.162

[6] תיאוריה זאת מזכירה את מה שאנחנו קוראים לו היום רשת IP – הרשת שבנויה ממנות ומרכיבה את רשת האינטרנט.

[7] F. jamil Ragep "Freeing Astronomy from philosophy" (2001).

[8] R.Bacon  , מתוך "המחשבה הפילוסופית בהתהוותה, אנטולוגיה מאת ש. סמבורסקי.

מודעות פרסומת